Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在CB的延长线上，点F在DA的延长线上，∠EBA=∠FCA=∠ABC，BE=CD．
（1）如图1，当∠BAC=90°时，判断线段AE与线段AD的关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当∠BAC=60°时，过点F作FH⊥DC交DC的延长线于点H，BH-BE=2，EF=7，求CH的长．

Answer 1

分析 （1）结论：AE=AD，且AE⊥AD．只要证明△EAB≌△DAC即可解决问题．
（2）如图2中，作FM⊥CA交CA的延长线于M，交BE于N．设CH=x，DB=y，AB=BC=AC=a．想办法构建方程组即可解决问题．

解答 解：（1）结论：AE=AD，且AE⊥AD．
理由：如图1中，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠EBA=∠ABC=45°，
∴∠EBA=∠ACD，
在△EAB和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=CD}\\{∠EBA=∠ACD}\\{BA=CA}\end{array}\right.$，
∴△EAB≌△DAC，
∴AE=AD，∠EAB=∠DAC，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴AE=AD，且AE⊥AD．

（2）如图2中，作FM⊥CA交CA的延长线于M，交BE于N．设CH=x，DB=y，AB=BC=AC=a．

∵BE=CD，BH-BE=2，
∴CH-DB=2，即x-y=2，
∵∠ABD=∠FCD=120°，
∴AB∥CF，
∴$\frac{AB}{CF}$=$\frac{DB}{DC}$，
∴$\frac{a}{2x}$=$\frac{x-2}{x-2+a}$，
∴ax-2a+a²=2x²-4x     ①，
在Rt△EFN中，∵EF²=EN²+FN²，
易知FN=$\frac{3}{2}$a-2，MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，FM=$\sqrt{3}$x，
∴49=（$\frac{3}{2}$a-2）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\sqrt{3}$x）²，
整理得3（ax-2a+a²）+4+3x²=49   ②，
①代入②得到，6x²-12x+4+3x²=49，
整理得3x²-4x-15=0，
解得x=3或-$\frac{5}{3}$（舍弃），
∴CH=3．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、二元二次方程组等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．