Question

2．己知抛物线y=（x-2）²，P是抛物线对称轴上的一个点，直线x=t分别与直线y=x、抛物线交于点A，B，若△ABP是等腰直角三角形，则t的值为0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$．

Answer 1

分析 首先求出抛物线与直线y=x的交点坐标，再分四种情形列出方程即可解决问题．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（x-2）^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
根据的通知解三角形的性质可知当AB=|P_x-A_x|或AB=2|P_x-A_x|时，△PAB可以是等腰直角三角形．
①当0＜x≤1时，（t-2）²-t=2-t或（t-2）²-t=2（2-t），
解得t=2-$\sqrt{2}$或0，
②当1＜t≤2时，t-（t-2）²=2-t或t-（t-2）²=2（2-t），
解得t=3-$\sqrt{3}$或$\frac{7-\sqrt{17}}{2}$，
③当2＜t≤4时，t-（t-2）²=（t-2），或t-（t-2）²=2（t-2），
解得t=2+$\sqrt{2}$或3，
④当t＞4时，（t-2）²-t=t-2或（t-2）²-t=2（t-2），
解得t=3+$\sqrt{3}$或$\frac{7+\sqrt{17}}{2}$，
综上所述，满足条件的t的值为0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$．
故答案为0或3或$2±\sqrt{2}$或$3±\sqrt{3}$或$\frac{{7±\sqrt{17}}}{2}$．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、等腰直角三角形的性质、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．