Question

13．如图1，已知在长方形ABCD中，AD=8，AB=4，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E．
（1）求证：△BED是等腰三角形．      
（2）求DE的长．
（3）如图2，若点P是BD上一动点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M，问：PN+PM的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由折叠和平行线性质可得：∠3=∠2，根据等角对等边得BE=DE，所以△BDE是等腰三角形；
（2）设DE=x，则AE=8-x，BE=x，根据勾股定理列方程可求得AE的长；
（3）先判断出PH⊥BC，再用角平分线定理得出PN=PH，即可得出结论．

解答 解：（1）由翻折知，∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BE=DE，
即△BED是等腰三角形；

（2）设DE=x，则AE=8-x，BE=x，
在Rt△ABE中，x²=（8-x）²+4²，
解之，x=5，
∴DE=5；

（3）PM+PN为定值，是4，
如图，

延长MP，交BC于点H，
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PH⊥BC，
∵∠1=∠2，PN⊥BE，PH⊥BC，
∴PN=PH，
∴PM+PN=MN=AB=4．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形、折叠的性质及等腰三角形的判定、勾股定理，角平分线定理，在四边形计算中，常利用勾股定理列方程求边的长度．