Question

3．证明：三角形中位线定理．
已知：如图，DE是△ABC的中位线．
求证：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
证明：略．

Answer 1

分析 作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．

解答 求证：DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．
证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=EC}\\{∠AED=∠CEF}\\{DE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠A=∠ECF，AD=CF，
∴CF∥AB，
又∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握．