Question

17．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D的坐标为（1，-$\frac{9}{2}$），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0）．P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
（l）求抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）若动点P满足∠PAO不大于45°，求P点的横坐标m的取值范围；
（3）当P点的横坐标m＜0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q．问：是否存在P点，使∠QPO=∠BCO？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得射线AC、AM，根据角越小角的对边越小，可得PA在在射线AC与AM之间，根据解方程组，可得E点的横坐标，根据E、C点的横坐标，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{PQ}{CO}$=$\frac{OQ}{OB}$，根据解方程组，可得P点坐标．

解答 解：（1）由A、B点的函数值相等，得
A、B关于对称轴对称．
A（4-0），对称轴是x=1，得
B（-2，0）．
将A、B、D点的坐标代入解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
抛物线所对应的二次函数的表达式y=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）如图1作C点关于原点的对称点M，

OC=OM=OA=4，
∠OAC=∠MAO=45°，
AP在射线AC与AM之间，∠PAO＜45°，
直线AM的解析式为y=-x+4，
联立AM于抛物线，得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$，
解得x=-4或x=4，
∵E点的横坐标是-4，C点的横坐标是0，
P点的横坐标的取值范围是-4≤m≤0；

（3）存在P点，使∠QPO=∠BCO，如图2，
，
设P（m，$\frac{1}{2}$m²-m-4），当点P在第二象限时，
由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°．
∴△PQO∽△COB，
∴$\frac{PQ}{CO}$=$\frac{OQ}{OB}$即$\frac{-m}{4}$=$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-m-4}{2}$，
化简，得m²-m-8=0．
解得m=$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$，m=$\frac{1+\sqrt{33}}{2}$（不符合题意，舍），
$\frac{1}{2}$m²-m-4=$\frac{1}{2}$（$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$）²-$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$-4=$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$，
P点坐标为（$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$）．
当点P在第三象限时，同理可得点P为（m，$\frac{1}{2}$m）
代入y=$\frac{1}{2}$x²-x-4，得$\frac{1}{2}$m=$\frac{1}{2}$m²-m-4，解得m=$\frac{3±\sqrt{41}}{2}$，
∵m＜0
∴P（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{41}}{4}$），
∴满足条件的点为P（$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$，$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$），或P（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{41}}{4}$）．

点评 本题考察了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用了角与对边的关系：角越小角的对边越小得出PA在在射线AC与AM之间是解题关键，利用了相似三角形的判定与性质．