Question

19．如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过D作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，BC=7，CF=3，求EF的长．

Answer 1

分析 连接BD，由等腰直角三角形的性质得出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠C=∠ABD=45°，推出∠FDC=∠EDB，由ASA证明△EDB≌△FDC，得出BE=FC=3，求出BF=4，由勾股定理求出EF的长即可．

解答 解：连接BD．如图所示：
∵在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C．
∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB．
在△EDB与△FDC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠C}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\\{∠EDB=∠FDC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=AE+BE=4+3=7，则BC=AB=7，
∴BF=BC-CF=7-3=4．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴EF²=BE²+BF²=3²+4²，
∴EF=5．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质；证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的突破口．