Question

8．如图，将一张边长为4的正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，得到4个小正三角形；然后将其中的一个三角形再剪成四个全等的小正三角形，得到7个小正三角形，根据以上操作，若得到151个小正三角形时，则最小的正三角形的面积等于$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{49}}$．

Answer 1

分析 根据已知第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形；…继而即可求出剪m次时正三角形的个数为151，即可得出其面积．

解答 解：∵第一次操作后得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形；第三次操作后得到10个小正三角形，
∴第m次操作后，总的正三角形的个数为3m+1．则：151=3m+1，
解得：m=50，
故若要得到151个小正三角形，则需要操作的次数为50次，
∵第一次操作后小正三角形面积为：$\frac{1}{2}$×2×2sin60°=$\sqrt{3}$，
第二次操作后小正三角形面积为：$\frac{1}{2}$×1×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
第三次操作后小正三角形面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{2}}$，
∴第50次操作后最小正三角形的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{49}}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{{4}^{49}}$．

点评 此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第m次操作后，总的正三角形的个数为3m+1是解题关键．