Question

【题目】已知：如图，OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．

（1）当∠AOB=90°，∠BOC=40°时，求∠MON的度数．

（2）若∠AOB的度数不变，∠BOC的度数为α时，求∠MON的度数．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）45°.

【解析】

（1）第一种方法：先求得∠AOC=130°，然后由角平分线的定义求得∠COM=65°、∠CON=20°，然后根据∠MON=∠COM﹣∠CON求解即可；

第二种方法：分别计算∠BOM和∠BON，根据∠MON=∠BOM+∠BON求解即可；

（2）第一种方法：根据角平分线的定义分别得∠COM=∠AOC，∠CON=∠BOC，所以∠MON=∠COM﹣∠CON=∠AOB=45°；

第二种方法：同（1）：根据∠MON=∠COM﹣∠CON求解即可．

（1）（第一种方法）∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°．

∵OM是∠AOC的角平分线，∴∠COM=∠AOC=65°．

∵ON是∠BOC的角平分线，∴∠CON=∠BOC=20°，∴∠MON=∠COM﹣∠CON=65°﹣20°=45°；

第二种方法：∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°．

∵OM是∠AOC的角平分线，∴∠AOM=∠AOC=65°．

∵∠AOB=90°，∴∠BOM=∠AOB﹣∠AOM=90°﹣65°=25°．

又∵ON是∠BOC的角平分线，∠BOC=40°，∴∠BON=∠BOC=20°，∴∠MON=∠BOM+∠BON=25°+20°=45°；

（2）（第一种方法）∵OM是∠AOC的角平分线，∴∠COM=∠AOC．

∵ON是∠BOC的角平分线，∴∠CON=∠BOC，∴∠MON=∠COM﹣∠CON=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOC﹣∠BOC）=∠AOB．

∵∠AOB=90°，∴∠MON=45°；

（第二种方法）∵∠AOB=90°，∠BOC=α，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+α．

∵OM是∠AOC的角平分线，∴∠COM=∠AOC=（90°+α）．

∵ON是∠BOC的角平分线，∠BOC=α，∴∠CON=∠BOC=α，∴∠MON=∠COM﹣∠CON=（90°+α）﹣α=45°．