Question

3．如图，∠AOB=90°，C在OB的延长线上，D为⊙O上一点，∠BAD=∠BDC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，且OB=BC．，求四边形AOBD的面积．

Answer 1

分析 （1）作直径BE，连接OD、DE，如图，利用圆周角定理得到∠BDE=90°，∠E=∠BAD，由于∠BAD=∠BDC．则∠E=∠BDC，加上∠DBO=∠BDO，则∠BDC+∠BDO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；
（2）先根据直角斜边上中线性质得DB=OB=OD，则△OBD为等边三角形，所以S_△OBD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∠BOD=60°，再作DF⊥OA于F，如图，则DF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$，所以S_△ODA=$\frac{1}{4}$，然后利用四边形AOBD的面积=S_△OBD+S_△ODA进行计算即可．

解答 （1）证明：作直径BE，连接OD、DE，如图，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠DBE+∠E=90°，
∵∠E=∠BAD，∠BAD=∠BDC．
∴∠E=∠BDC，
∵OB=OD，
∴∠DBO=∠BDO，
∴∠BDC+∠BDO=90°，即∠CDO=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=CB，
∴BD为直角△ODC的斜边OC的中线，
∴DB=OB=OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴S_△OBD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$OB²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，∠BOD=60°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOD=30°，
作DF⊥OA于F，如图，
在Rt△ODF中，DF=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ODA=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴四边形AOBD的面积=S_△OBD+S_△ODA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了圆周角定理．