题目内容
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，正方形DEFG的四个顶点分别在边AC、AB、CB上．（1）求证：△ADE∽△GBF；
（2）求正方形DEFG的边长；
（3）连结CE、CF分别交DG于点P、Q．求证：PQ2=PD•QG．
考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质
专题：
分析：（1）根据同角的余角相等即可证得∠ADE=∠B，然后根据有两个角对应相等的三角形相似即可证得；
（2）设正方形DEFG的边长是x，然后根据△CDG∽△CAB，依据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解；
（3）根据△ADE∽△GBF，以及正方形的性质可得EF2=AE•BF，根据相似三角形的性质得到则
=
=
，据此即可证得．
（2）设正方形DEFG的边长是x，然后根据△CDG∽△CAB，依据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解；
（3）根据△ADE∽△GBF，以及正方形的性质可得EF2=AE•BF，根据相似三角形的性质得到则
| DP |
| AE |
| QG |
| BF |
| PQ |
| EF |
解答：证明：（1）∵直角△ADE中，∠A+∠ADE=90°，
又∵直角△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠AED=∠GFB，
∴△ADE∽△GBF；
（2）在直角△ABC中，AB=
=
=5，
则AB边上的高是：
=2.4，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴设正方形DEFG的边长是x，则
=
，
解得：x=
；
（3）∵△ADE∽△GBF，
∴
=
，则DE•GF=AE•BF，
又∵EF=DE=GF，
∴EF2=AE•BF，
∵DP∥AE，
∴△CDP∽△CAE，
∴
=
，
同理，
=
=
，
则
=
=
，
∴
=
，
∴PQ2=PD•QG．
又∵直角△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠AED=∠GFB，
∴△ADE∽△GBF；
（2）在直角△ABC中，AB=
| AC2+BC2 |
| 32+42 |
则AB边上的高是：
| 3×4 |
| 5 |
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴设正方形DEFG的边长是x，则
| x |
| 5 |
| 2.4-x |
| 2.4 |
解得：x=
| 60 |
| 37 |
（3）∵△ADE∽△GBF，
∴
| DE |
| AE |
| BF |
| GF |
又∵EF=DE=GF，
∴EF2=AE•BF，
∵DP∥AE，
∴△CDP∽△CAE，
∴
| CD |
| AC |
| DP |
| AE |
同理，
| CD |
| AC |
| PQ |
| EF |
| QG |
| BF |
则
| DP |
| AE |
| QG |
| BF |
| PQ |
| EF |
∴
| DP•DQ |
| AE•BF |
| PQ•EF |
| EF2 |
∴PQ2=PD•QG．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，是一道综合题目，正确对比例式进行变化是关键，题目难度较大．
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在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=
，则tanA的值为（ ）
| 1 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、2
| ||||
D、
|
若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是（ ）
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
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