Question

如图1，△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，AE=a，AB=b，且（a＜b），点D在AC上，连接BD，BD=c．
（1）如果c=

5

2

a，①求

a

b

的值；
②若a，b是关于x的方程x²-mx+

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

=0的两根，求m；
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使BE=100，连接DC，求五边形ABCDE的面积．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,根与系数的关系,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）①延长ED交BC于点F，表示出DF、BF，然后利用勾股定理列出方程，再把c=

5

2

a代入求出a、b的关系即可；
②利用根与系数的关系表示出a+b，ab，然后消掉a、b得到关于m的一元二次方程，然后求解即可；
（2）过A，C，D分别向BE作垂线，垂足分别为H，M，N，根据同角的余角相等求出∠HAE=∠NED，然后利用“角角边”证明△AHE和△END全等，同理可证△AHB≌BMC，根据全等三角形对应边相等可得AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，设AH=h，然后根据五边形的面积等于两对全等三角形的面积加上梯形的面积列式整理即可得解．

解答：（1）解：①延长ED交BC于点F，
DF=b-a，BF=a，
在Rt△DHB中由勾股定理得，a²+（b-a）²=c²，
又∵c=

5

2

a，
∴（a-2b）（3a-2b）=0，
∴a=2b或3a=2b，
又∵a＜b，
∴

a

b

=

2

3

；
②由根与系数的关系a+b=m，ab=

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

，
由a+b=m，

a

b

=

2

3

，
解得a=

2

5

m，b=

3

5

m，
所以，

6

25

m²=

1

25

m²-

2

5

m+

3

5

，
整理得，m²+2m-3=0，
解得m₁=-3，m₂=1，
∵a+b=m＞0，
∴m=1，
当m=1时，方程为x²-x+

6

25

=0，这个方程有两个不相等的正根，
所以，m=1符合题意；

（2）解：过A，C，D分别向BE作垂线，垂足分别为H，M，N，
∵∠AEH+∠DEN=90°，
∠AEH+∠HAE=90°，
∴∠HAE=∠NED，
在△AHE与△END中，

∠HAE=∠NED ∠AHE=∠END AE=ED

，
∴△AHE≌△END（AAS），
同理可证△AHB≌BMC，
则AH=MB=EN，MC=BH，DN=EH，
设AH=h，
五边形ABCDE的面积为100h+

100×(100-2h)

2

=5000．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根与系数的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．