Question

已知抛物线y=

1

3

x²的图象如图所示．
（1）当抛物线向右平移m个单位后，经过点A（0，3），试求m的值；
（2）画出平移后的图象；
（3）设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP+CP的距离最短，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先由平移规律求出平移后的抛物线解析式，因为它经过点（0，3），所以再把点（0，3）代入新的抛物线解析式即可求出m的值．
（2）抛物线平移后，二次项系数不变，只是顶点坐标位置的变化；
（3）根据已知条件易求点A、B、C的坐标；当点B、P、C三点共线时，BP+CP的值最小，此时点P是直线BC与直线x=3的交点．

解答：解：（1）把抛物线y=

1

3

x²向右平移m个单位得到y=

1

3

（x-m）²，
∵经过点（0，3），
∴3=

1

3

（0-m）²，
解得：m₁=3，m₂=-3（不合题意，舍去）．
即m的值是3；

（2）抛物线y=

1

3

x²的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线y=

1

3

（x-3）²，的顶点坐标是（3，0），其图象如图所示；


（3）由题意得：

y= 1 3 x2 y= 1 3 (x-3)2

，
解得

x= 3 2 y= 3 4

，
则B（

3

2

，

3

4

）．
∵平移后抛物线y=

1

3

（x-3）²的对称轴是x=3，
∴点A（0，3）关于x=3的对称点C的坐标为（6，3）．
∵P在新抛物线的对称轴x=3上，B，C在直线x=3的两侧，
∴当B，P，C三点共线时，BP+CP的距离最短（两点之间线段最短）．
设过点B、C直线的解析式为y=kx+b（k≠0）．则

3 4 = 3 2 k+b 3=6k+b

，
解得：

k= 1 2 b=0

，
∴直线BC的解析式为y=

1

2

x，
当x=3时，y=

3

2

．
即符合条件点P的坐标为（3，

3

2

）．

点评：本题主要考查了二次函数综合题．函数图象的平移和一个点在图象上那么这个点就满足该图象的解析式，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．