Question

5．如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=4，点E在AD上，F为AB延长线上一点，将△AEF沿EF翻折，点A恰好与点C重合，则∠AFE的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质结合勾股定理首先求出AE的长，进而得出AF，EF的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．

解答 解：设AE=x，则EC=x，DE=8-x，
故DE²+DC²=EC²，
则（8-x）²+4²=x²，
解得：x=5，
则EC=AE=5，DE=3，
设BF=y，则AF=FC=4+y，
故BC²+BF²=FC²，
则8²+y²=（4+y）²，
解得：y=6，
故AF=10，
则EF=$\sqrt{1{0}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{5}$，
故cos∠AFE=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{10}{5\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，根据题意得出BF，AE的长是解题关键．