Question

16．如图，等边△ABC，其边长为1，D是BC中点，点E，F分别位于AB，AC边上，且∠EDF=120°．
（1）直接写出DE与DF的数量关系；
（2）若BE，DE，CF能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
（3）思考：AE+AF的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：DE=DF．如图1中，连接AD，作DN⊥AB，DM⊥AC垂足分别为N、M，只要证明△DNE≌△DMF即可．
（2）能围成三角形，最大内角为120°．延长FD到M使得DF=DM，连接BM，EM，由△DFC≌△DMB得∠C=∠BMD=60°，BM=CF，因为DE=DF=DM，∠EDM=180°-∠EDF=60°，
所以△EDM是等边三角形，由此不难证明．
（3）如图1中，先证明△ADN≌△ADM，再证明AE+AF=2AN，求出AN即可解决问题．

解答 （1）结论：DE=DF．
证明：如图1中，连接AD，作DN⊥AB，DM⊥AC垂足分别为N、M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵BD=DC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴DN=DM，
∵∠EDF=120°，
∴∠EDF+∠BAC=180°，∠AED+∠AFD=180°，
∵∠AED+∠DEN=180°，
∴∠DFM=∠DEN，
在△DNE和△DMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEN=∠DFM}\\{∠DNE=∠DMF}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△DMF，
∴DE=DF．
（2）能围成三角形，最大内角为120°．
证明：如图2中，延长FD到M使得DF=DM，连接BM，EM．
在△DFC和△DMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠FDC=∠BDM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFC≌△DMB，
∴∠C=∠MBD=60°，BM=CF，
∵DE=DF=DM，∠EDM=180°-∠EDF=60°，
∴△EDM是等边三角形，
∴EM=DE，
∴EB、ED、CF能围成△EBM，
最大内角∠EBM=∠EBC+∠DBM=60°+60°=120°．
（3）如图1中，在△ADN和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△ADM，
∴AN=AM，
∴AE+AF=AN-EN+AM+MF，
由（1）可知EN=MF．
∴AE+AF=2AN，
∵BD=DC=$\frac{1}{2}$，在RT△BDN中，∵∠BDN=30°，
∴BN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$，
∴AN=AB-BN=$\frac{3}{4}$，
∴AE+AF=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会辅助线的研究方法，属于中考常考题型．