阅读发现:(1)如图①.在Rt△ABC和Rt△DBE中.∠ABC=∠DBE=90°.AB=BC=3.BD=BE=1.连结CD.AE．易证:△BCD≌△BAE．提出问题:的条件下.当BD∥AE时.延长CD交AE于点F.如图②.求AF的长．解决问题:(3)如图③.在Rt△ABC和Rt△DBE中.∠ABC=∠DBE=90°.∠BAC=∠DEB=30°.连结CD.AE．当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．阅读发现：（1）如图①，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD，AE．易证：△BCD≌△BAE．（不需要证明）
提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD∥AE时，延长CD交AE于点F，如图②，求AF的长．
解决问题：（3）如图③，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD，AE．当∠BAE=45°时，点E到AB的距离EF的长为2，求线段CD的长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

分析（2）由△BCD≌△BAE，得到∠OAF=∠OCB，根据“8字型”证明∠AFO=∠CBO=90°，在RT△BDC中利用勾股定理求出CD，再证明BD=EF即可解决问题．
（3）根据两边成比例夹角相等两三角形相似，可以证明△ABE∽△CBD，得$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，再求出AE即可解决问题．

解答（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．
由（1）可知：△BCD≌△BAE，
∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，
∴∠AFO=∠CBO=90°，
∴CF⊥AE，∵BD∥AE，
∴BD⊥CF，
在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，
∴CD=AE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，
∴四边形EFDB是矩形，
∴EF=BD=1，
∴AF=AE-EF=2$\sqrt{2}$-1．
（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，BE=$\sqrt{3}$BD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABE=∠DBC，
∴△ABE∽△CBD，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{BE}{BD}$=$\sqrt{3}$，
在RT△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，
∴AF=EF=2，AE=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．