题目内容
2．
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5cm，BC=12cm，CD=4cm，∠C=45°，点P从B点出发，沿着BC方向以1cm/s运动，到达点C停止，设P运动了t秒（1）当t=5s或6s时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形；
（2）当t=11s时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？如能，请求出t值，如不能请说明理由．
分析 （1）分AP=AB时和BP=AB时两种情况分类讨论即可得到答案；
（2）根据平行四边形对边平行且相等，分点P在点E的左边与右边两种情况，PE=AD=5，然后求出BP的长度，再根据路程、时间、速度的关系求解；
（3）根据菱形是平行四边形，对（2）中的两种情况求出DE与PD的长度，如果等于AD的长度5，则是菱形，否则不是．
解答 解：（1）若AP=AB时，则t=6s；
若BP=AB时，则t=5s；
（2）如图1，
①当点P在点E的左边，AD=PE时，四边形APED是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴BP=BE-PE=6-5=1cm，
∴t=1÷1=1s；
②当点P在点E的右边，PE=AD时，四边形AEPD是平行四边形，
∵E是BC的中点，BC=12cm，
∴EC=$\frac{1}{2}$BC=6cm，
∵AD=5cm，
∴PC=EC-PE=6-5=1cm，
∴BP=BC-PC=12-1=11cm，
∴t=11÷1=11s；
（3）能是菱形．
如图2，
过点D作DN⊥BC，垂足为N，若为菱形，必须是平行四边形，所以在（2）中两种情形中，
①四边形APED是平行四边形时，
∵CD=4$\sqrt{2}$cm，∠C=45°，
∴DN=4，EN=EC-CN=6-4=2，
∴DE=$\sqrt{D{N}^{2}+E{N}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
∵AD=5cm，
∴AD≠DE，
∴平行四边形APED不是菱形；
②四边形AEPD是平行四边形时，
DN=4cm，PC=1cm，
∴PN=NC-PC=4-1=3cm，
∴DP=$\sqrt{D{N}^{2}+P{N}^{2}}$=5cm，
∵AD=DP=5cm，
∴平行四边形AEPD是菱形；
综上所述，当t=11s时是菱形．
点评 本题主要考查了直角梯形，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的运用，需要注意分点P在点E的左边与右边两种情况进行讨论求解．
已知∠1=∠2，AC=BD，E，F，A，B在同一直线上，问∠3=∠4吗？
| A． | 10m | B． | 12m | C． | 13m | D． | 15m |
【探究】将两个三角板的两个直角顶点O重合在一起，放置成如图甲所示的位置，请回答下面的问题．| 候选人 | 测试成绩（百分制） | |
| 面试 | 笔试 | |
| 甲 | 85 | 95 |
| 乙 | 95 | 83 |