Question

2．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点P在线段CD上移动，点C、D的坐标分别为（-1，1）和（3，4）．当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．在整个移动过程中，点A移动的距离为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 通过“当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．”可以算出此时抛物线的解析式，由此可找出此时A点所在的位置记为A₁，由于在整个运动中保持抛物线的形状与大小不变，即保持a不变，算出抛物线顶点在D点时抛物线的解析式，可以得出此时A点所在的位置记为A₂，当P在CD上运动时，A在A₁A₂上运动，由此可得出结论．

解答 解：抛物线顶点在点C（-1，1）时，故设此时的抛物线解析式为y=a（x+1）²+1．
∵此时原点（0，0）在抛物线上，
∴有0=a（0+1）²+1，即a+1=0，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）²+1．
令y=0，即-（x+1）²+1=0，
解得x₁=-2，x₂=0，
即此时A₁点的坐标为（-2，0）．
∵保持抛物线的形状与大小不变，即保持a不变，
∴当抛物线顶点运动到点D（3，4）时，此时抛物线解析式为y=-（x-3）²+4．
令y=0，即-（x-3）²+4=0，
解得x₃=1，x₄=5，
即此时A₂点的坐标为（1，0）．
∵抛物线顶点P在线段CD上移动，
∴A点在A₁A₂上运动，
∴在整个移动过程中，点A移动的距离为1-（-2）=3．
故选C．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键是：根据“保持抛物线的形状与大小不变”即保持a不变，由P与C重合时，B与原点重合，可求出a值．