如图.矩形ABCD中.AB=5.BD=13.Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上.E点与矩的B点重.∠FGE=90°.FG=3．将矩形ABCD固定.把Rt△EFG沿着射线BC方向运动.当点F恰好经过BD时.将△EFG绕点F逆时针旋转α°.记旋转中的△EFG为△E′F′G′.在旋转过程中.设直线E′G′与直线BC交于N.与直线BD交于M点.当△BMN为以MN为底� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

如图，矩形ABCD中，AB=5，BD=13，Rt△EFG的直角边GE在CB的延长线上，E点与矩的B点重，∠FGE=90°，FG=3．将矩形ABCD固定，把Rt△EFG沿着射线BC方向运动，当点F恰好经过BD时，将△EFG绕点F逆时针旋转α°（0°＜α°＜90°），记旋转中的△EFG为△E′F′G′，在旋转过程中，设直线E′G′与直线BC交于N，与直线BD交于M点，当△BMN为以MN为底边的等腰三角形时，FM的长为3$\sqrt{26}$．

分析如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，求出RT、RC，利用△BTR∽△MG′F得$\frac{FM}{BR}=\frac{FG′}{RT}$，列出方程即可解决．

解答解：如图，作BR平分∠DBC交CD于R，RT⊥BD垂足为T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，∠C=90°，
∵BD=13，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在△BRT和△BRC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BTR}\\{∠RBT=∠RBC}\\{BR=BR}\end{array}\right.$，
∴△BRT≌△BRC，
∴BT=BC=12，TD=1，设RT=RC=x，
在RT△RTD中，∵TD²+RT²=RD²，
∴x²+1²=（5-X）²，
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴BR=$\sqrt{B{T}^{2}+R{T}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{26}}{5}$，
∵BN=BM，
∴∠BMN=∠BNM，
∵∠DBC=∠BMN+∠BNM，∠RBD=∠RBC，
∴∠TBR=∠FMG′，
∵∠RTB=∠FG′M=90°，
∴△BTR∽△MG′F，
∴$\frac{FM}{BR}=\frac{FG′}{RT}$，
∴$\frac{FM}{\frac{12\sqrt{26}}{5}}=\frac{3}{\frac{12}{5}}$，
∴FM=3$\sqrt{26}$．