Question

7．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；
（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求出A、B点的坐标，将其代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；
（2）由直线解析式和抛物线对称轴解析式可求出交点E的坐标，可随之求出AE的长度，过点F作FG⊥直线AB于点G，作FH⊥x轴交直线AB于点H，则△GHF为等腰直角三角形，设F点坐标为（m，-m²-2m+3），则点H（m，m+3），由此可得出FG的长度，再根据三角形的面积公式结合S_△AFE=4即可得出关于m的一元二次方程，解之取其负值即可得出m值，将其代入点F的坐标中即可；
（3）设出P点的坐标，用未知数n表示出Q的坐标，由矩形的面积公式可得出含n的代数式，利用解极值问题即可得出矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．

解答 解：（1）直线y=x+3与x、y轴的交点分别为A（-3，0）、B（0，3），
将A、B坐标代入抛物线解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-9-3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）∵抛物线的解析式y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
解$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即点E坐标为（-1，2），
∴AE=2$\sqrt{2}$．
过点F作FG⊥直线AB于点G，作FH⊥x轴交直线AB于点H，则△GHF为等腰直角三角形，如图1所示．
设F点坐标为（m，-m²-2m+3），则点H（m，m+3），
∴FH=m+3-（-m²-2m+3）=m²+3m，GF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$FH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m²+3m），
∴S_△AFE=$\frac{1}{2}$AE•GF=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m²+3m）=4，
解得：m₁=-4，m₂=1．
∵点F在第三象限，
∴m＜0，
即m=-4，此时点F的坐标为（-4，-5）．
（3）依照题意画出图形，如图2所示，
令y=-（x+1）²+4=0，解得x=1，x=-3，
∴点C坐标为（1，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3=b}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即直线BC的解析式为y=-3x+3．
设P点坐标为（n，n+3）（其中-3＜n＜0），则Q点坐标为（-$\frac{n}{3}$，n+3），M点坐标为（n，0），N点坐标为（-$\frac{n}{3}$，0）．
∴PM=n+3，PQ=-$\frac{n}{3}$-n=-$\frac{4}{3}$n，
矩形PMNQ的面积=PM×PQ=（n+3）×（-$\frac{4}{3}$n）=-$\frac{4}{3}$（n²+3n）=-$\frac{4}{3}$${（n+\frac{3}{2}）}^{2}$+3．
故当n=-$\frac{3}{2}$时，矩形PMNQ的面积最大，最大面积为3．
此时P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键：（1）由直线解析式求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式即可；（2）利用三角形的面积公式结合S_△AFE=4找出关于m的一元二次方程；（3）设出P点坐标，利用含n的代数式表示出矩形面积，由求极值的方法解决问题．