Question

19．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABE=90°，BFCG分别是△ABE和△ECD的中线，E为BC上一点，且AE⊥ED，若BC=DC=8，BE：EC=1：1，CG=2$\sqrt{5}$，求BF的长．

Answer 1

分析 根据平行线的性质得到∠DCE=90°，由直角三角形的性质得到DE=2CG=4$\sqrt{5}$，根据已知条件求得BE=CE=4，推出△ABE∽△DCE，得到$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CD}$，求出AE=8，再由直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵AB∥CD，∠ABE=90°，
∴∠DCE=90°，
∵CG是△ECD的中线，CG=2$\sqrt{5}$，
∴DE=2CG=4$\sqrt{5}$，
∵BC=8，BE：EC=1：1，
∴BE=CE=4，
∵AE⊥ED，
∴∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CD}$，
即$\frac{AE}{4\sqrt{5}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴AE=8，
∵BF是△ABE的中线，
∴BF=$\frac{1}{2}$AE=4．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．