如图.四边形ABCD.CEFG都是正方形.点G在线段CD上.连接BG.DE.DE和FG相交于点O.设AB=a.CG=b．下列结论:①△BCG≌△DCE,②BG⊥DE,③$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$,④$\sqrt{\frac{{{S {△EOF}}}}{{{S {△BCG}}}}}=\frac{b}{a}$．其中结论正确的个数是( )A．4个B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．

如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③$\frac{DG}{GC}=\frac{GO}{CE}$；④$\sqrt{\frac{{{S_{△EOF}}}}{{{S_{△BCG}}}}}=\frac{b}{a}$．其中结论正确的个数是（　　）

A．

4个

B．

3个

C．

2个

D．

1个

分析由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE；由△DGO与△DCE相似即可判定③错误，由△OEF与△GBC相似即可求得④．

解答证明：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
故①正确；

②延长BG交DE于点H，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE；
∴BG⊥DE．
故②正确；

③∵四边形GCEF是正方形，
∴GF∥CE，
∴$\frac{DG}{DC}$=$\frac{GO}{CE}$，
∴$\frac{DG}{GC}$=$\frac{GO}{CE}$是错误的．
故③错误；

④∵DC∥EF，
∴∠GDO=∠OEF，
∵∠GDO=∠GBC，
∴∠OEF=∠GBC，
∵∠F=∠BCG=90°，
∴△OEF∽△GBC，
∴$\frac{{S}_{△EOF}}{{S}_{△BGC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{b}{a}$）²，
∴$\sqrt{\frac{{{S_{△EOF}}}}{{{S_{△BCG}}}}}=\frac{b}{a}$．
故④正确；
故选：B．