Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A、D作⊙O，⊙O与AB交于点E，AE是⊙O的直径，AD是⊙O的一条弦，且∠A+∠CDB=90°，AD：AE=4：5，BC=6．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）下面是根据题中条件求直径AE长的过程，阅读后请按要求解决下列问题：
解法1．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°=∠C，∴DE∥BC
又∵D是AC的中点，∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{AD}{AC}$，∴E是AB的中点，∴DE=$\frac{1}{2}$BC=3．
在Rt△ADE中，设AD=4x，AE=5x，∴（4x）²+3²=（5x）²，
解之得：x₁=1，x₂=-1（舍去），∴AE=5x=5，即⊙O的直径为5．
解法2．∵∠A+∠CDB=90°，又∵∠A+∠CBA=90°，∴∠CDB=∠CBA，∠C=∠C，
∴△DCB∽△BCA，∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{BC}{AC}$，∴BC²=DC•AC，又∵AC=2DC=2AD，∴BC²=AD•2AD，
AD=$\frac{4}{5}$AE，6²=2×（$\frac{4}{5}$AE）²，AE=$\frac{15}{4}$$\sqrt{2}$．
以上两种解法结果不同，那么问题出在哪里呢？
①下列说法正确的是D
A．解法1有错     B．解法2有错     C．解法1、2都有错    
D．解法1、2都没错，但题中条件“AD：AE=4：5”是多余的
②在①中若你选择的是A、B、C中一个，请说明错在哪里？若你选的是D，请删去“AD；AE=4：5”这个条件，求出⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，利用∠A=∠ODA，∠A+∠CDB=90°得到∠ODA+∠CDB=90°，则∠BDO=90°，于是可根据切线的判定定理得到结论；
（2）①解法1、2都没错，但题中条件“AD：AE=4：5”是多余的；
②先证明△CDB∽△CBD，利用相似比得到CD•CA=36，再利用AD=CD可计算出AD=3$\sqrt{2}$，接着根据圆周角定理得到∠ADE=90°，则DE∥BC，所以DE为△ADE的中位线，则DE=$\frac{1}{2}$BC=3，然后利用勾股定理可计算AE．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O相切；

（2）①解法1、2都没错，但题中条件“AD：AE=4：5”是多余的；
故选D；
②∵∠A+∠CDB=90°，∠CDB+∠CDB=90°，
∴∠CBD=∠A，
而∠DCB=∠CBA，
∴△CDB∽△CBD，
∴CD：CB=CB：CA，
即CD•CA=36，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
即AD•2AD=36，解得AD=3$\sqrt{2}$，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∴DE为△ADE的中位线，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=3，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、三角形中位线性质和切线的判定方法；会利用勾股定理和相似比计算线段的长和表示线段之间的关系．