Question

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b（b＞0），分别交x轴、y轴于A、B两点，点C（3，0），D（6，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，CF=$\sqrt{3}$，设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）当S等于矩形CDEF面积的一半时，求出b的值．
（2）求S与b的函数关系．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A，G点坐标，根据三角形的面积，可得函数关系式，再根据面积间的关系，可得关于b的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据自变量与函数值得对应关系，可得A，G点坐标，根据三角形的面积，可得函数关系式．

解答 解：（1）如图，
CD=6-3=3，CF=$\sqrt{3}$．
S_矩形CDEF=CD•CF=6$\sqrt{3}$．
y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，当y=0时，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b=0，解得x=$\sqrt{3}$b，
即A点坐标为（$\sqrt{3}$b，0）．
AC=$\sqrt{3}$b-3．
当x=3时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3+b=b-$\sqrt{3}$，
即G点坐标（3，b-$\sqrt{3}$）．
CG=b-$\sqrt{3}$，
矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S，
S=$\frac{1}{2}$CG•AC=$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3），
当S等于矩形CDEF面积的一半时，
即$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3）=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$．
解得b=2$\sqrt{3}$，b=0（不符合题意，舍）；
（2）由（1）知，
S=$\frac{1}{2}$CG•AC=$\frac{1}{2}$（b-$\sqrt{3}$）（$\sqrt{3}$b-3），
化简，得
S=$\frac{\sqrt{3}}{2}{b}^{2}$-3b+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的应用，利用三角形的面积得出函数关系式是解题关键．