Question

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF为⊙O的切线，

（1）如图①，求∠DFC的度数；
（2）如图②，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G，连接CG，当△ABC时等边三角形时，求∠AGC的度数．

Answer 1

考点：切线的性质,等边三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）连接AD，OD，根据等腰三角形的性质与平行线的性质，可得DF⊥OD，进而得出答案；
（2）根据题意，△ABC是等边三角形，可得BG是AC的垂直平分线，再根据平行线的性质，可得△ACG是等边三角形，故∠AGC=60°．

解答：解：（1）连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=DC，
又∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF是⊙O的切线，
∴ODF=90°，
∴∠DFC=90°；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴BG⊥AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴BG是AC的垂直平分线，
∴GA=GC．
又∵AG∥BC，∠ACB=60°，
∴∠CAG=∠ACB=60°．
∴△ACG是等边三角形．
∴∠AGC=60°．

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，及角度的大小的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．