Question

如图，已知正方形ABCD，点P为射线BA上的一点（不和点A，B重合），过P作PE⊥CP，且CP=PE，过E作EF∥CD交射线BD于F点，EC交直线BD于G点．
（1）求证：EF=AB；
（2）请探究BF，DG和CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，根据同角的余角相等求出∠BPC=∠MEP，然后利用“角角边”证明△BPC和△MEP全等，根据全等三角形对应边相等可得BP=ME，BC=MP，然后求出AM=BP，从而得到AM=ME，判断出∠MAE=45°，从而得到∠MAE=∠ABD，然后根据同位角相等，两直线平行求出AE∥BD，再根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等证明即可；
（2）①分点P在线段AB上时，利用“角角边”证明△EGF和△CGD全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=DG，再根据等腰直角三角形的性质解答即可；②点P在射线BA上时，同理可求．

解答：（1）证明：过点E作EM⊥AB，交BA的延长线于点M，连结AE，
∵PE⊥CP，
∴∠EPM+∠BPC=∠EPM，
∵EM⊥AB，
∴∠EPM+∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，AB∥CD，
∴∠ABC=∠M=90°，
在△BPC和△MEP中，

∠BPC=∠MEP ∠ABC=∠M=90° CP=PE

，
∴△BPC≌△MEP（AAS），
∴BP=ME，BC=MP，
∴AB=MP，
∴AM=BP，
∴AM=ME，
∵∠M=90°，
∴∠MAE=45°，
∴∠MAE=∠ABD，
∴AE∥BD，
∵EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF=AB；

（2）解：分两种情况：①BF+2DG=

2

CD．
理由如下：如图1，∵EF∥CD，
∴∠FEG=∠GCD，
在△EGF和△CGD中，

∠FEG=∠GCD ∠EGF=∠CGD EF=CD

，
∴△EGF≌△CGD（AAS），
∴FG=DG，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=

2

CD，
∴BF+2DG=

2

CD；
②如图2，点P在射线BA上时，BF-2DG=

2

CD，与①同理可证．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形和平行四边形是解题的关键，（2）难点在于分情况讨论．