Question

已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，EF交AD于点G．
（1）判断AD与EF的位置关系，并加以说明理由．
（2）若AE=

5

，DE=2，求EF的长．

Answer 1

考点：勾股定理,角平分线的性质

专题：

分析：（1）证得点A、D在线段EF的垂直平分线上；
（2）根据勾股定理得到AD=3，由面积法求得EG=

2 5

3

，从而求得EF=

4 5

3

．

解答：（1）解：AD⊥EF．理由如下：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在线段EF的垂直平分线上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD   DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AG=AG，
∴△AEG≌△AFG，
∴EG=GF，∠AGE=∠AGF=90°，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
∴EF⊥AD；

（2）在直角△AED中，根据勾股定理，得
AD=3．
∵

1

2

AE•DE=

1

2

AD•EG，
∴EG=

2 5

3

，
∴EF=2EG=

4 5

3

．

点评：本题考查了勾股定理，角平分线的性质．找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．