Question

20．如图，四边形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
（1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）在筝形ABCD中，已知AB=AD=10，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=16，
①若∠ABC=90°，求AC的长．
②过点B作BF⊥CD于F，BF交AC于点E，连接DE．当四边形ABED为菱形时，求点F到AB的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1，证明△OMT≌△ONT，得∠MOT=∠NOT，再根据等腰△OMN三线合一的性质得MN⊥OT；
（2）①如图2，先根据勾股定理求AO的长，再利用勾股定理列方程求OC的长，则AC=OC+AO，代入得出结论；
②如图3，先证明△BEM∽△BDF，可得$\frac{BE}{BD}=\frac{EM}{DF}$，求出DF=9.6；再通过勾股定理求EF的长，则得BF的长，通过证明△BGF∽△EFD，得$\frac{BF}{DE}=\frac{FG}{DF}$，所以可以求FG的长，即点F到AB的距离．

解答 解：（1）如图1，连接MN、OT交于点A，
MN⊥OT，理由是：
∵OM=ON，TM=TN，OT=OT，
∴△OMT≌△ONT，
∴∠MOT=∠NOT，
∵OM=ON，
∴MN⊥OT；
（2）①如图2，∵四边形ABCD为筝形，
∴AC⊥BD，
∵AB=AD，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×16=8，
由勾股定理得：AO=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
设OC=x，
∵∠ABC=90°，
∴BC²=AC²-AB²，BC²=OC²+OB²，
∴8²+x²=（6+x）²-10²，
解得：x=$\frac{32}{3}$，
∴AC=OA+OC=6+$\frac{32}{3}$=$\frac{50}{3}$；
②∵四边形ABED为菱形，
∴BE=AD=10，EM=AM=6，
∵∠FBD=∠FBD，∠BMC=∠BFD=90°，
∴△BEM∽△BDF，
∴$\frac{BE}{BD}=\frac{EM}{DF}$，
∴$\frac{10}{16}=\frac{6}{DF}$，
∴DF=9.6，
在Rt△DEF中，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-9．{6}^{2}}$=2.8，
∴BF=2.8+10=12.8，
∵∠BGF=∠EFD=90°，∠GBF=∠FED，
∴△BGF∽△EFD，
∴$\frac{BF}{DE}=\frac{FG}{DF}$，
∴FG=$\frac{BF•DF}{DE}$=$\frac{12.8×9.6}{10}$=12.288．
则点F到AB的距离为12.288．

点评 本题是四边形的综合题，考查了筝形的定义，并根据定义判断筝形的对角线互相垂直；本题还考查了全等三角形、相似三角形的性质和判定，多次运用相似三角形对应边的比和勾股定理求边长．