Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=，分别以AB、AD、CD为半径向外做半圆，四边形EFGH的一边FG与BC在同一条直线上，其余三边与半圆相切，且分别与梯形ABCD的边平行，则四边形EFGH的周长是________．

Answer 1

68
分析：首先过点D作DR⊥BC于点R，过点H作HK⊥BC于点K，设CD的中点为O，GH与半圆O相切于点M，连接OM．易证得四边形ABRD是矩形，四边形EFKH是矩形，又由直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=6，AD=8，sin∠BCD=，可求得CD的长，由切线的性质，可求得EF与BF的长，继而求得GH的长，又由平行四边形的面积，可求得CG的长，继而求得答案．
解答：如图，过点D作DR⊥BC于点R，过点H作HK⊥BC于点K，设CD的中点为O，GH与半圆O相切于点M，连接OM．
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴AB∥DR，
∴四边形ABRD是矩形．
∴DR=AB=6．
又∵sin∠BCD=，
∴=，
∴CD=10．
∴CR==8，
∴BC=AD+CR=8+8=16，
∵以AB为直径的圆与EF相切，EF∥AB∥HK，
∴四边形EFKH是矩形，
∴EH=FK，KH=EF，
∴BF=AB=3．
同理：EF=AB+AD=10．
∵CD∥GH，
∴∠G=∠BCD，
∴sin∠G=，
∵HK=EF=10，
∴GH==，GK=，
∵OM⊥GH，OM=CD=5，
∵CG•HK=GH•OM，
∴CG==，
∴CK=GK-CG=5，
∴RK=CR-CK=3，
∴EH=FK=BF+BR+RK=3+8+3=14，FG=FK+GK=14+=，
∴四边形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=10+++14=68．
故答案为：68．
点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，平行四边形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．