题目内容

(1)求证:BC=CD;
(2)在边AB上找点E,连接CE,将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF.连接EF,如果EF∥BC,试画出符合条件的大致图形,并求出AE:EB的值.
分析:(1)过点A作AH⊥BC,解直角△ABH,可知BH=AD,且CD=2AD,tan∠ABC=2,可得BC=CD.
(2)依题意画出图形,利用AE:EB=DM:CM,根据角度关系,求出FM=CM,FM=2DM,进而可求出比值.
(2)依题意画出图形,利用AE:EB=DM:CM,根据角度关系,求出FM=CM,FM=2DM,进而可求出比值.
解答:
(1)证明:过点A作AH⊥BC,垂足为点H,如图,
在Rt△AHB中,∵tan∠ABC=2,
∴AH=2BH,
∵AD∥BC,∠BCD=90°
∴AH=DC,AD=HC,
∵CD=2AD,
∴AH=2HC,
∴BH=HC,即BC=CD;
(2)解:画出符合条件的大致图形,
根据题意,得:△ECF中,CE=CF,∠ECF=90°,∠FDC=∠CBE,
∵EF∥BC,∴DC⊥EF,
∴∠ECD=∠FCD=45°,CM=FM,
设EF与DC交于点M,
Rt△DMF中,∵tan∠FDM=tan∠ABC=2,
∴FM=2DM
∴
=
=
.

在Rt△AHB中,∵tan∠ABC=2,
∴AH=2BH,
∵AD∥BC,∠BCD=90°
∴AH=DC,AD=HC,
∵CD=2AD,
∴AH=2HC,
∴BH=HC,即BC=CD;
(2)解:画出符合条件的大致图形,

∵EF∥BC,∴DC⊥EF,
∴∠ECD=∠FCD=45°,CM=FM,
设EF与DC交于点M,
Rt△DMF中,∵tan∠FDM=tan∠ABC=2,
∴FM=2DM
∴
AE |
EB |
DM |
CM |
1 |
2 |
点评:(1)本题考查梯形,矩形、直角三角形的相关知识.解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线,把梯形分割为矩形和直角三角形,从而由矩形和直角三角形的性质来求解.
(2)考查了作图能力以及平行线平分线段成比例定理.
(2)考查了作图能力以及平行线平分线段成比例定理.

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