Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，∠BAC=30°，BD=3，AB=2CD，求梯形ABCD各边的长．

Answer 1

考点：梯形,勾股定理

专题：

分析：设AC与BD相交于E，设CD=x 则由已知AB=2x，易证△DEC∽△AEB，利用相似三角形的性质和勾股定理即可求出梯形ABCD各边的长．

解答：解：∠CAD=30°，∠AEB=90°，设CD=x，则由已知AB=2x．
∵BD垂直于AC，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAC=30°．
∴BE=

1

2

AB=x，
∵BD=3，∴DE=3-x，
∵AB平行于CD，
∴△DEC∽△AEB，
∴

CD

AB

=

DE

BE

=

1

2

即

3-x

x

=

1

2

，
解得：x=2，
∴CD=2，AB=4，
∴DE=3-2=1，BE=2，
∴AE=

AB2-BE2

=2

3

，CE=

CD2-DE2

=

3

∴AD=

DE2+AE2

=

13

，BC=

CE2+BE2

=

7

．

点评：本题主要考查了梯形中的有关性质．在解决有关梯形问题时，常常通过作辅助线的方法转化为矩形和直角三角形的问题即勾股定理来求解．