Question

16．已知在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，AD、CE交于点O．
（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：AC=AE+CD；
（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中的结论是否发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．只要证明△AOE≌△AOF，△COF≌△COD，即可解决问题．
（2）结论不成立．用反证法证明即可．

解答 解：（1）如图1中，在线段AC上截取AF=AE，连接OF．

∵∠ABC=60°，
∴∠BAC+∠ACB=120°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOE=∠COD=60°，
在△AOE和△AOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OA}\\{∠OAE=∠OAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△AOF，
∴∠AOE=∠AOF=60°，
∴∠COF=∠COD=60°，
在△COF和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠COF=∠COD}\\{OC=OC}\\{∠OCF=∠OCD}\end{array}\right.$，
∴△COF≌△COD，
∴CF=CD，
∴AC=AF+CF=AE+CD．

（2）如图2中，当∠ABC≠60°时，结论不成立．

由（1）可知，假设结论成立．则有∠AOF=∠COF=∠COD=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠OAC+∠OCA=60°，
∵∠BAC=2∠OAC，∠ACB=2∠OCA，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠B=60°，这个与已知矛盾，
∴结论不成立．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、反证法等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，学会用反证法证明有关题目，属于中考常考题型．