Question

6．已知抛物线y=ax²+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax²+bx+c=0无实数根；③a-b+c≥0；④$\frac{a+b+c}{b-a}$的最小值为3，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b²-4ac≤0，从而得到①为正确；②错误，由x=-1及x=-2时y都大于或等于零可以得到③④正确．

解答 解：∵b＞a＞0
∴-$\frac{b}{2a}$＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b²-4ac≤0，
∴关于x的方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根或无实数根；
故②错误，
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x=-1时，a-b+c≥0；
所以③正确；
当x=-2时，4a-2b+c≥0
          a+b+c≥3b-3a
          a+b+c≥3（b-a）
      $\frac{a+b+c}{b-a}$≥3
所以④正确．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²-4ac的符号．