Question

10．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：
（1）△ACE∽△BDE；
（2）BE•DC=AB•DE．

Answer 1

分析 （1）根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{AE}=\frac{ED}{EC}$，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{CD}$，等量代换得到$\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{CD}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；

（2）∵△ACE∽△BDE，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{ED}{EC}$，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{CD}$，
∴$\frac{BE}{ED}=\frac{AB}{CD}$，
∴BE•DC=AB•DE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．