Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．

(1) 求证：CD是⊙O的切线；

(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）30°.

【解析】

(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；

(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.

解：(1) 连结OC.

∵平分，∴∠BAC=∠DAC.

又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.

∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线.

(2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.

又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, , , ∴AC=.

在Rt△ACB中, cos∠BAC=, ∴∠BAC=30°.