Question

17．已知平行四边形ABCD的周长为42，自顶点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE=3，DF=4，则BE+BF的长为（　　）

• A． 21-14$\sqrt{2}$
• B． 21+14$\sqrt{2}$
• C． 21+14$\sqrt{2}$或21-14$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$或21+14$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，由?ABCD的周长为42，DE⊥直线BC，DF⊥直线AB，垂足分别为E、F，且DE=3，DF=4，构造方程求解即可求得答案．

解答 解：对于平行四边形ABCD有两种情况：
当∠A为锐角时，如图1，
设BC=a，AB=b，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=3，DF=4，
∴3a=4b，
∵平行四边形ABCD的周长为42，
∴2（a+b）=42，
∴a+b=21，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a=4b①}\\{a+b=21②}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴BC=12，AB=9，
∴AB=CD=9，AD=BC=12，
∴在Rt△ADE中，CE=6$\sqrt{2}$，
∴BE=BC-CE=12-6$\sqrt{2}$，
∴在Rt△ADF中，AF=8$\sqrt{2}$，
∵F点在AB的延长线上，
∴BF=AF-AB=8$\sqrt{2}$-9，
∴BE+BF=（12-6$\sqrt{2}$）+（8$\sqrt{2}$-9）=3+2$\sqrt{2}$，

当∠D为锐角时，如图2，
设BC=a，AB=b，
∵平行四边形ABCD，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴AB×DE=BC×DF，AB=CD，BC=DA，
又∵DE=3，DF=4，
∴3a=4b，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴2（a+b）=42，
∴a+b=21，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{3a=4b①}\\{a+b=21②}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=12}\\{b=9}\end{array}\right.$，
∴BC=12，AB=9，
∴AB=CD=9，AD=BC=12，
∴在Rt△ADE中，CE=6$\sqrt{2}$，
∴BE=BC+CE=12+6$\sqrt{2}$，
∴在Rt△ADF中，AF=8$\sqrt{2}$，
∵F点在AB的延长线上，
∴BF=AF+AB=8$\sqrt{2}$+9，
∴BE+BF=（12+6$\sqrt{2}$）+（8$\sqrt{2}$+9）=14$\sqrt{2}$+21，
综上所述：BE+BF的长为：3+2$\sqrt{2}$或21+14$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，合并同类二次根式等知识点，关键在于根据∠A为锐角或∠D为锐角分情况进行讨论，根据平行四边形的面积公式和周长定理正确的列出方程组，并认真的求解，推出AB和BC的长度，熟练运用数形结合的思想进行求解．