Question

15．如图，菱形ABCD，∠D=120°，E为菱形内一点，连结EC、EB．再将EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，连结FA、EF，且EF交AB于点G．
（1）求证：AF=CE；
（2）若∠EBC=45°，求∠AGE的大小．

Answer 1

分析 （1）先根据菱形的性质得出∠ABC=120°，AB=CB，再由图形旋转的性质得出EB=FB，根据SAS定理得出△AFB≌△CEB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）先求出∠ABE的度数，再由等腰三角形的性质求出∠GEB的度数，再由∠AGE=∠ABE+∠GEB即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠D=120°，
∴∠ABC=120°，AB=CB．
又∵EB绕着点B逆时针旋转120°到FB，
∴EB=FB，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=120°，
∴∠FBA=∠EBC，
在△AFB与△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}EB=FB\\∠EBC=∠FBA\\ BC=AB\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△CEB（SAS），
∴AF=CE；

（2）∵∠ABC=120°，∠EBC=45°，
∴∠ABE=75°．
又∵∠EBF=120°，EB=FB，
∴∠GEB=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∴∠AGE=∠ABE+∠GEB=75°+30°=105°．

点评 本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．