题目内容
10．
如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=6厘米，点P从B点出发，以每秒2厘米的速度沿BC向C点移动；点Q从C点出发，以每秒1厘米的速度沿CA向A点移动．（1）求AB的长；
（2）如果点P、Q分别从B、C同时出发，设运动的时间为x秒，△PCQ的面积为y，求出y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（3）当x为何值时，△PCQ是有一个锐角为30°的直角三角形？
分析 （1）利用勾股定理可知AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm；
（2）根据y=$\frac{1}{2}$•PC•CQ计算即可，求出点P的运动时间即可知道自变量x的取值范围；
（3）分两种情形分别列出方程计算即可；
解答 解；（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm．
（2）∵CQ=x，PB=2x，
∴y=$\frac{1}{2}$•PC•CQ=$\frac{1}{2}$（8-2x）•x=-x2+4x，
∴点P运动到点C的时间为4s，
∴0＜x＜4．
（3）①当∠QPC=30°时，易知PC=$\sqrt{3}$CQ，即8-2x=$\sqrt{3}$x，解得x=8（$\sqrt{3}$-2）．
②当∠PQC=30°时，CQ=$\sqrt{3}$PC，即x=$\sqrt{3}$（8-2x），解得x=$\frac{48-8\sqrt{3}}{11}$，
综上所述，x=8（$\sqrt{3}$-2）s或$\frac{48-8\sqrt{3}}{11}$s时，△PCQ是有一个锐角为30°的直角三角形．
点评 本题考查三角形综合题、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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20．在-1.414，$\frac{22}{7}$，$\root{3}{-27}$，$\frac{π}{3}$，-$\sqrt{2}$，3.14，$\sqrt{9}$，0.1212212221…（两个1之间依次多1个2）中，无理数的个数是（ ）
| A． | 3个 | B． | 4个 | C． | 5个 | D． | 6个 |
如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且点C在以AB为直径的⊙O上．
5．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（ ）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（ ）| A． | 48 | B． | 50 | C． | 54 | D． | 60 |
5．下列各式计算正确的是（ ）
| A． | a2×a3=a6 | B． | $\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | C． | $\frac{x-1}{{1-{x^2}}}=\frac{1}{x+1}$ | D． | （x+y）2=x2+y2 |