Question

如图，在等腰梯形ABDC中，AC=BD，AB∥CD，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，且∠CAE=90°，若∠ABF=∠D，
求证：
（1）△ABF∽△ECA；
（2）若延长BF交CD与点G，判断四边形ABGC的形状并说明理由．
（3）当AB=4，BE=3时，求梯形ABDC的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：

分析：（1）证明∠BAF=∠AEC；证明∠ABF=∠C，即可解决问题．
（2）证明∠BGD=∠C，进而得到AC∥BG，即可解决问题．
（3）根据题意，求出AE、DE的长，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AEC；
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C=∠D；而∠ABF=∠D，
∴∠ABF=∠C，
∴△ABF∽△ECA．
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠BGD；而∠ABF=∠D，∠C=∠D，
∴∠BGD=∠C，
∴AC∥BG；而AB∥CG，
∴四边形ABGC是平行四边形．
（3）∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴AB⊥BE；而AB=4，BE=3，
由勾股定理得：AE=5．
∵∠BAE=∠AEC，∠ABE=∠CAE，
∴△ABE∽△EAC，
∴AB：AE=BE：AC=AE：CE，
即4：5=3：AC=5：CE，
∴AC=

15

4

，CE=

25

4

；
∴BD=AC=

15

4

；由勾股定理得：
DE²=BD²-BE²，
∴DE=

9

4

，CD=

25

4

+

9

4

=

17

2

，
∴梯形ABDC的面积=

1

2

（4+

17

2

）×3
=

75

4

．

点评：该题主要考查了梯形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是数形结合，准确找出命题图形中隐含的等量关系；灵活解题．