Question

15．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：AE+CF=EF．（不需证明）
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

分析 （1）证明△ABE≌△CBF且△BEF是等边三角形即可；
（2）延长FC至G，使AE=CG，连接BG，先证△BAE≌△BCG，再证△GBF≌△EBF即可；
（3）在AE上截取AH=CF，连接BH，先证△BAH≌△BCF，再证△EBF≌△EBH即可．

解答 解：（1）如图1，

在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠BAE=∠BCF}\\{AB=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠CBF=∠EBA，BE=BF，
∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，CF=$\frac{1}{2}BF$，AE=$\frac{1}{2}BE$，
∴EF=BE=BF=AE+CF；
（2）如图2，延长FC至G，使AE=CG，连接BG，

在△BAE和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAE=∠BCG}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCG（SAS），
∴∠ABE=∠CBG，BE=BG，
∵∠ABC=120°，∠EBF=60°，
∴∠ABE+∠CBF=60°，
∴∠CBG+∠CBF=60°，
∴∠GBF=∠EBF，
在△GBF和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BG=BE}\\{∠GBF=∠EBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴EF=GF=CF+CG=CF+AE；
（3）不成立，但满足新的数量关系．
如图3，在AE上截取AH=CF，连接BH，

在△BAH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAH=∠BCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$，
∴△BAH≌△BCF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵∠EBF=60°=∠FBC+∠CBE
∴∠ABH+∠CBE=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠HBE=60°=∠EBF，
在△EBF和△HBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BF}\\{∠HBE=∠EBF}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EBH（SAS），
∴EF=EH，
∴AE=EH+AE=EF+CF．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质、旋转变换等知识点，难度适中．本题是典型的“大角夹半角模型”，其基本思路是“旋转补短”，从而构造全等三角形．这一类型的题目经常出现，希望同学们务必掌握．