Question

19．已知A，B，C是⊙O上的三个点，CD切⊙O于点C，AC平分∠DAB．
（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小；
（Ⅱ）如图②，延长DC，与AB的延长线交与点E，AD交⊙O于点F，若AD=4，AE=12，求⊙O的半径及AF的长．

Answer 1

分析 （1）如图①，先证明OC∥AD，再根据切线的性质得到OC⊥CD，则AD⊥CD，然后根据垂直的定义得到∠ADC的度数；
（2）连接BF，如图②，设⊙O的半径为r，则OE=AE-OA=12-r，先证明△EOC∽△EAD，利用相似比可计算出r=3，然后证明△ABF∽△AED，利用相似比可计算出AF．

解答 解：（1）如图①，
∵AC平分∠DAB，
∴∠2=∠3，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴AD⊥CD，
∴∠ADC=90°；
（2）连接BF，如图②，设⊙O的半径为r，则OE=AE-OA=12-r，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{OE}{AE}$，即$\frac{r}{4}$=$\frac{12-r}{12}$，解得r=3，
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥DE，
∴△ABF∽△AED，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AB}{AE}$，即$\frac{AF}{4}$=$\frac{6}{12}$，解得AF=2，
即⊙O的半径及AF的长分别为3和2．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决（2）小题的关键是灵活运用相似比计算线段的长．