题目内容
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2=OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．（1）试判断抛物线y=2x2+
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（2）若抛物线y=3x2+5x+c（其中c≠0）是“黄金”抛物线，请求出c的值；
（3）将（2）中条件下的抛物线进行一定的平移后所得的抛物线仍为“黄金”抛物线，请直接写出平移后的抛物线解析式，及抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）是“黄金”抛物线应满足的条件．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）首先求出y=0时x的值，进而得出A，B点坐标，即可得出OC2=OA•OB，进而得出答案；
（2）根据“黄金”抛物线，求出|c|2=|
|，解出即可；
（3）利用“黄金”抛物线的定义即可得出是“黄金”抛物线应满足的条件Ⅰ．当ac＞0时，ac=1，且b2＞4；Ⅱ．当ac＜0时，ac=-1，b可为任意实数．
（2）根据“黄金”抛物线，求出|c|2=|
| c |
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（3）利用“黄金”抛物线的定义即可得出是“黄金”抛物线应满足的条件Ⅰ．当ac＞0时，ac=1，且b2＞4；Ⅱ．当ac＜0时，ac=-1，b可为任意实数．
解答：解：（1）该抛物线是“黄金”抛物线．
理由如下：
对于y=2x2+
x+
，当y=0时，即2x2+
x+
=0，
解得：x1=-1，x2=-
，
即A点坐标为（-1，0），B点坐标为(-
，0)，
∴OA=1，OB=
．
又当x=0时，y=
，
故C点坐标为(0，
)，
即OC=
．
因而OC2=（
）2=
=1×
=OA•OB，
故抛物线y=2x2+
x+
是“黄金”抛物线．
（2）设抛物线y=3x2+5x+c与x轴的两个交点A、B的坐标分别为（xA，0）、（xB，0），
则有OA=|xA|，OB=|xB|；
且xA、xB为方程3x2+5x+c=0的两根，
则xA•xB=
．
即OA•OB=|xA||xB|=|
|．
在y=3x2+5x+c中，当x=0 时，y=c，
故C点坐标为（0，c），
则OC=|c|．
据题意可知，OC2=OA•OB，
故|c|2=|
|，
解得：c=±
．
（3）将抛物线y=3x2+5x+
及y=3x2+5x-
平移后可得到如下“黄金”抛物线：
①y=3x2-5x+
；②y=3x2-5x-
．
抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）是“黄金”抛物线应满足的条件为：
Ⅰ．当ac＞0时，ac=1，且b2＞4；
Ⅱ．当ac＜0时，ac=-1，b可为任意实数．
理由如下：
对于y=2x2+
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解得：x1=-1，x2=-
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即A点坐标为（-1，0），B点坐标为(-
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∴OA=1，OB=
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又当x=0时，y=
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故C点坐标为(0，
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即OC=
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因而OC2=（
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故抛物线y=2x2+
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（2）设抛物线y=3x2+5x+c与x轴的两个交点A、B的坐标分别为（xA，0）、（xB，0），
则有OA=|xA|，OB=|xB|；
且xA、xB为方程3x2+5x+c=0的两根，
则xA•xB=
| c |
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即OA•OB=|xA||xB|=|
| c |
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在y=3x2+5x+c中，当x=0 时，y=c，
故C点坐标为（0，c），
则OC=|c|．
据题意可知，OC2=OA•OB，
故|c|2=|
| c |
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解得：c=±
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（3）将抛物线y=3x2+5x+
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①y=3x2-5x+
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抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）是“黄金”抛物线应满足的条件为：
Ⅰ．当ac＞0时，ac=1，且b2＞4；
Ⅱ．当ac＜0时，ac=-1，b可为任意实数．
点评：此题主要考查了新定义以及一元二次方程的解法等知识，利用已知式子得出变化规律是解题关键．
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