Question

7．设等边△ABC的内切圆半径为2，圆心为I．若点P满足PI=1，则△ABC与△APC的面积之比的最大值为6．

Answer 1

分析 P满足PI=1，则P在以I为圆心，以1位半径的圆上，当P是⊙O和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE=2-1=1，则△ABC与△APC的面积的比值是BE与PE的比值，据此即可求解．

解答 解：点P满足PI=1，则P在以I为圆心，以1位半径的圆上．
作BE⊥AC，则BE一定过点I，连接AI．
∵在直角△AIE中，∠IAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，IE=2，
∴AI=2IE=6，
∴BE=IE+BI=IE+AI=2+4=6．
当P是⊙O和BE的交点时，△ACP的面积最小，即△ABC与△APC的面积之比最大．此时PE=2-1=1，
则△ABC与△APC的面积的比值是$\frac{BE}{PE}$=$\frac{6}{1}$=6．
故答案是：6．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心的计算，确定P的位置是解决本题的关键．