Question

10．已知关于x的方程mx²-（m+2）x+2=0
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m-2）²≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；
（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=$\frac{m+2}{m}$，2t=$\frac{2}{m}$，然后解关于t与m的方程组即可．

解答 （1）证明：当m=0时，方程变形为-2x+2=0，解得x=1；
当m≠0时，△=（m+2）²-4m•2=（m-2）²≥0，方程有两个实数解，
所以不论m为何值，方程总有实数根；
（2）设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=$\frac{m+2}{m}$，2t=$\frac{2}{m}$，
则2+t=1+2t，解得t=1，
所以m=1，
即m的值位1，方程的另一个根为1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．