Question

15．若正数a、b满足$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{24}$，$\frac{{b}^{3}}{{b}^{6}+{b}^{3}+1}$=$\frac{1}{19}$，则$\frac{ab}{（{a}^{2}+a+1）（{b}^{2}+b+1）}$=（　　）

• A． 24
• B． 18
• C． $\frac{1}{18}$
• D． $\frac{1}{24}$

Answer 1

分析 利用倒数法先求出a+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{b}$，由此即可解决问题．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}}{{a}^{4}+{a}^{2}+1}$=$\frac{1}{24}$，$\frac{{b}^{3}}{{b}^{6}+{b}^{3}+1}$=$\frac{1}{19}$，
∴a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$=24，b³+$\frac{1}{{b}^{3}}$+1=19，
∴（a+$\frac{1}{a}$）²=25，
∵a+$\frac{1}{a}$＞0，
∴a+$\frac{1}{a}$=5，
（b+$\frac{1}{b}$）³-3（b+$\frac{1}{b}$）-18=0，
∴（b+$\frac{1}{b}$-3）[（b+$\frac{1}{b}$）²+3（b+$\frac{1}{b}$）+6]=0，
∴b+$\frac{1}{b}$=3．
∴原式=$\frac{1}{（a+1+\frac{1}{a}）（b+1+\frac{1}{b}）}$=$\frac{1}{6×4}$=$\frac{1}{24}$．
故选D．

点评 本题考查分式的化简求值、解题的关键是利用倒数法求出a+$\frac{1}{a}$，b+$\frac{1}{b}$的值，学会整体代入的思想解决问题，题目比较难，所以中考选择题中的压轴题．