Question

3．如图，⊙O的直径AB长为12，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB．
（2）设AD交⊙O于点M，当∠B=60°时，求弧AM的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线性质求出OC⊥CD，根据平行线的判定得出AD∥OC，即可求出答案；
（2）连接BM和OM，求出∠AOM的度数，根据弧长公式求出即可．

解答 （1）证明：连接OC，

∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；

（2）解：
连接BM、OM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，∠ACB=90°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠DAB=2×30°=60°，
∴∠MBA=30°，
∴∠MOA=60°，
∴弧AM的长为：$\frac{12π×60}{360}$=2π．

点评 本题考查了切线的性质和弧长公式等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．