Question

4．如图，C是线段BD上一点，分别以BC和CD为边长，在直线BD的同一侧作两个等边三角形，△ABC和△ECD，连接BE和AD，BE与AC交于点F，AD与CE交于点G．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）探究△CFG的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD；
（2）首先可证明△BCF≌△ACG，从而得出CF=CG，根据CG=CF，∠ACE=60°，得出△GCF是等边三角形．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
同理：CE=CD，∠ECD=60°，
∴∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）解：△GCF是等边三角形，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD，
∵∠ACB=∠ECD=60°
∴∠ACE=60°
∴∠ACB=∠ACE，
在△BCF和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAD}\\{BC=AC}\\{∠BCF=∠ACG}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△ACG（SAS），
∴CG=CF；
∵CG=CF，∠ACE=60°；
∴△GCF是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键．