Question

一个凹四边形，有三个内角为45°，求证：四边中点所组成的四边形是正方形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：如图，连接AC、BD，延长BC交AD于点M，延长DC交AB于N，则易证点C是△ABD的垂心，故AC⊥BD．根据三角形中位线定理判定四边形EFGH是菱形，由菱形的一内角为直角时，该菱形为正方形证得结论．

解答：证明：如图，在凹四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、AD、DC、BC的中点，∠BAD=∠ABC=∠ADC=45°．
连接AC、BD，延长BC交AD于点M，延长DC交AB于N．
∵∠BAD=∠ABC=45°．
∴AM=BM，∠ABM+∠BAM=90°，
∴∠AMB=90°，即BM⊥AD，
∴∠DCM=∠MDC=45°．
∴△MDC是等腰直角三角形，
∴MC=MD．
在△ACM与△BDM中，

AM=BM ∠AMC=∠BMD=90° MC=MD

，
∴△ACM≌△BDM（SAS），
∴AC=BD．
∵点E、F、G、H分别是边AB、AD、DC、BC的中点，
∵EF

∥

.

1

2

BD，GH

∥

.

1

2

BD，
∴EF

∥

.

GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
同理EH=

1

2

AC，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形．
易证DN⊥AB，又BM⊥AD，
∴点C是△ABD的垂心，
∴AC⊥BD，
则易得 EH⊥HG，
∴菱形EFGH是正方形．

点评：本题考查了中点四边形．其中涉及到了菱形的判定与性质，三角形中位线定理以及正方形的判定，综合性比较强，有一定的难度．