Question

12．阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：
已知：如图1，在△ABC中，三边的长分别为AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，求∠A的正切值．
小华是这样解决问题的：
如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格点△DEF，从而使问题得解．
（1）如图2，△DEF中与∠A相等的角为∠D，∠A的正切值为$\frac{1}{2}$．
（2）参考小华的方法请解决问题：若△LMN的三边分别为LM=2，MN=2$\sqrt{2}$，LN=2$\sqrt{5}$，求∠N的正切值．

Answer 1

分析 （1）先证明△DEF∽△ACB得∠D=∠A，根据tan∠A=tan∠D即可解决．
（2）构造一个△RKT∽△MLN得∠T=∠N，根据tan∠N=tan∠T即可解决．

解答 解：（1）由图2 可知DE=2，EF=2$\sqrt{2}$，DF=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{2}$，BC=2，
∵$\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AB}=\sqrt{2}$，
∴△DEF∽△ACB，
∴∠D=∠A，
∴tan∠A=tan∠D=$\frac{1}{2}$，
故答案分别为∠D，$\frac{1}{2}$
（2）在图3中，作一个△RKT，使得PK=$\sqrt{5}$，RT=$\sqrt{10}$，KT=5，
∵LM=2，NM=2$\sqrt{2}$，LN=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{RK}{LM}=\frac{RT}{MN}=\frac{KT}{LN}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△RKT∽△MLN，
∴∠T=∠N，
∴tan∠N=tan∠T=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，学会用转化的数学思想解决问题，构造一个三角形和已知三角形相似是解题的关键．