Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b（k₁≠0）与反比例函数y=

k2

x

（k₂＞0）相交于A（1，m）和B（4，n），过点A作AM⊥x轴于M，直线AB交y轴于C．
（1）若AB=5，求点A坐标；
（2）过点C作CD⊥y轴交反比例函数图象于D，若△CDB的面积为

8

5

，求反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可知A（1，k₂），B（3，

k2

3

），然后由两点间的距离公式易求k₂的值；
（2）由题意知S_△CDB=

1

2

CD•（b-n）=

8

5

，S_△CDB=

1

2

×3•（b-m）=

8

5

，（m=k₂，n=

k2

3

），据此可以列出关于b、k₂的方程组，通过解该方程组来求k₂的值．

解答：解：（1）∵点A、B在反比例函数y=

k2

x

（k₂＞0）的图象上，A（1，m）和B（4，n），
∴m=k₂，n=

k2

3

，即A（1，

k2

3

），B（3，k₂），∵AB=5，
∴（1-4）²+（k₂-

k2

3

）²=25，
解得，k₂=6，
则点A的坐标是（1，6）；

（2）由（1）知A（1，

k2

3

），B（3，k₂）．
∵点C是直线y=k₁x+b（k₁≠0）与y轴的交点，
∴C（0，b）．
∵CD⊥y轴，AM⊥x轴，
∴D（1，b）．
∵△CDB的面积为

8

5

，
∴S_△CDB=

1

2

×1•（b-

k2

3

）=

8

5

，①
S_△CDB=

1

2

×3•（b-k₂）=

8

5

，②
由①②解得，k₂=

16

5

，
故反比例函数的解析式是：y=

16 5

x

=

16

5x

．

点评：本题考查了反比例函数综合题．其中涉及到了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及三角形的面积的计算，同时要注意运用数形结合的思想．