Question

如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象经过边OB的中点C和AE的中点D．已知等边△OAB的边长为8，
（1）直接写出点C的坐标；
（2）求反比例函数y=

k

x

解析式；
（3）求等边△AFE的边长．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过点B作BG⊥x轴于点G，根据等边三角形的性质求出OG的长，由锐角三角函数的定义求出BG的长，故可得出B点坐标，再根据中点坐标公式即可得出C点坐标；
（2）直接把C点坐标代入反比例函数y=

k

x

即可得出k的值，故可得出其解析式；
（3）过点D作DH⊥AF，垂足为点H，设AH=a（a＞0）．在Rt△DAH中，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得出AD=2AH=2a，由勾股定理得出DH的长，再根据点D在第一象限，可得出D点坐标，再由点D在反比例函数y=

4 3

x

的图象上，可以把把x=8+a，y=

3

a代入反比例函数解析式求出a的值，再根据点D是AE中点即可得出结论．

解答：解：（1）过点B作BG⊥x轴于点G，
∵等边△OAB的边长为8，
∴OA=OB=8，
∴OG=

1

2

-A=4，BG=OB•sin60°=8×

3

2

=4

3

，
∴B（4，4

3

），
∵点C是OB边的中点，
∴点C的坐标是（2，2

3

）；

（2）∵点C在反比例函数图象上，
∴把x=2，y=2

3

代入反比例函数解析式，解得k=4

3

．
∴反比例函数解析式为y=

4 3

x

；

（3）过点D作DH⊥AF，垂足为点H．
解法一：设AH=a（a＞0）．
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AD=2AH=2a，
由勾股定理得：DH=

3

a．
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（8+a，

3

a）．
∵点D在反比例函数y=

4 3

x

的图象上，
∴把x=8+a，y=

3

a代入反比例函数解析式，
解得 a=2

5

-4 （a=-2

5

-4＜0不符题意，舍去）．
∵点D是AE中点，
∴等边△AFE的边长为8

5

-16；
解法二：∵点D在第一象限，
∴设点D的坐标为（m，

4 3

m

）（m＞0）．
∴AH=m-8，DH=

4 3

m

．
在Rt△DAH中，
∵∠DAH=60°，
∴∠ADH=30°．
∴AD=2AH=2（m-8），
由勾股定理得：DH=

3

（m-8）．
所以

4 3

m

=

3

（m-8），
解得：m=2

5

+4．
∴AH=2

5

-4，
∵点D是AE中点，
∴等边△AFE的边长为8

5

-16．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理及等边三角形的性质是解答此题的关键．